Представяне на числата и бройни системи

  •  

    BINARY AND HEX NUMBERS_LabWorks 2011

     

    Представяне на числата и бройни системи

    Във всекидневния ни живот по навик използваме десетична бройна система за представяне на числата. Без усилие записваме произволни стойности - на положителни и отрицателни, на цели и дробни числа. При работа с по-големи стойности съществуват методи за компактен запис на числата, напр. като се използва мантиса, даваща една базова стойност и експонента, представляваща коефициент, степен на 10, по който трябва да бъде умножена мантисата, за да се получи действителната стойност на изразяваното число.

    В основата на десетичната бройна система, както и на всяка друга, както ще стане видно по-нататък, стои използването на известно количество различни символи, в случая 10 на брой:

    0123456789

    При изчерпване на всички възможни символи (преброили сме повече от 10 обекта), се преминава към представяне на количеството с повече от един разред. Така говорим за разред на единиците (10^0), разред на десетиците (10^1), на стотиците (10^2) и т.н. Цифрата във всеки разред е коефициентът, по който трябва да се умножи количеството, представляващо съответната степен на бройната система:

    012 .... 9101112  ...  99100   101102  ...   1000

    За пълнота, тъй като от математическа гледна точка е възможно използването на произволна бройна система, би трябвало при записа числата да се представят като

    3427103495171064,28109581006310....

    За наше улеснение не добавяме индекса 10, който посочва коя е основата на бройната система, а го подразбираме.

    Освен това, при представяне на стойностите, по подразбиране приемаме че това е един съкратен запис на сумата от единиците, десетиците, стотиците и т.н.

    За едно число  пълният запис би представлявал

    34951710 = 3.105 + 4.104 + 9.103 + 5.102 + 1.101 + 7.100 =

         = 300 000 + 40 000 +9 000 + 500 + 10 + 7

    В цифровата и изчислителната техника този подход е неудобен по практически съображения. Макар и възможно, създаването на електронен елемент с 10 различни, стабилни и повторяеми състояния е много трудно, скъпо и ненадеждно. По тази причина се използват елементи само с  две състояния, които за удобство е прието да се означават с

    0 - нулаи    1 - единица.

              Важно е да се подчертае, че тук не става дума за количества, а за състояния.

    Електронните елементи с две състояния се наричат двоични (бинарни), а аритметиката, изградена на базата на такива елементи се нарича двоична аритметика. При електронната им реализация се използват прости, евтини средства и технически решения, което позволява постигане именно на характеристиките, необходими за построяване на цифрови устройства и цифрови електронни изчислителни машини (ЦЕИМ) - компютрите. Чрез добавянето на еднакви, прости конструктивни блокове могат както в десетичната бройна система де се представят произволни стойности. Един блок, който може да се намира в състояние "0" или "1", представлява един двоичен разред, наречен бит (bit). Наименованието му идва от binary unit - двоична единица. Понякога се използва и терминът digit. Това дава и наименованието на тази област от електрониката - дигитална или цифрова електроника. В нея елементите могат да се намират само или в едното състояние - "0 - нула", което се отъждествява с ниско ниво на напрежението (low), слаб ток, отворен контакт и др. под. или в противоположното състояние "1 - единица" - високо ниво (high), силен ток, затворен контакт и т.н. В цифровата техника не съществуват междинни състояния на елементите, което изключва всякакво двусмислие. Или е топло (температурата е над някакъв праг), или студено (под този праг). Преходът между двете състояния е рязък и в идеалния случай - мигновен. От своя страна, за един елемент всяко състояние може да се запазва неогранично дълго време, ако той не бъде изведен от него посредством подходящо въздействие. За съхранение на двоичната информация в цифровите машини се използват специални елементи с памет - тригери (flip-flop). Всеки тригер може да съхранява, да помни, 1 бит информация. Колкото по-голямо е двоичното число, толкова повече тригери са необходими - по един за всеки негов бит. За съхранение на числена информация в машините тригерите са обединени в неделими групи - регистри и операциите на запис и на прочитане на състоянието на всеки тригер са едновременни за всички тригери от даден регистър. Ако при запис на ново число състоянието на някой от тригерите в регистъра трябва да остане същото, записът въпреки това се изпълнява, но не се наблюдава изменение на съответния бит. При прочитане на съдържанието на регистъра то не се променя - не се загубва. Всеки тригер запазва състоянието, в което е бил установен при записа.